ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПРОСТЕЙШИМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ ЗАЯВОК И ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ПОТОКАМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ

В данном разделе будут рассмотрены методы исследования установившегося режима в разомкнутых СМО с приоритетными дисциплинами ожидания и обслуживания, с простейшими входящими потоками и произвольными потоками обслуживания. Для простоты ограничимся одноканальной СМО, соответствующую случаю, когда в ВС распределению подлежит единственный ресурс, например время центрального процессора [2].

Так как вероятностные процессы в СМО с простейшими потоками событий являются Марковскими, в любой момент времени состояние системы с произвольным потоком обслуживания описывается совокупностью двух величин: число заявок в системе и время, прошедшее с момента начала обслуживания заявки в канале до момента наблюдения.

Упростить исследование можно введя некоторые ограничения :

-        заменить двумерное описание СМО описанием детерминированной функции составляющих двумерного описания;

-        рассматривать систему лишь в специально подобранные моменты времени, такие , чтобы в любой выбранный момент времени можно было определить состояние системы в следующий выбранный момент времени.

Далее перед нами встает проблема выбора таких моментов времени. Удобнее всего выбрать в качестве таких моментов времена окончания обслуживаний. Так как в эти моменты время, прошедшее с момента начала обслуживания заявки в канале до момента наблюдения равно 0 (заявка только начинает обслуживаться) и состояние системы однозначно определяется количеством заявок находящихся в системе. При этом в системе образовывается процесс с дискретными состояниями и дискретным временем. Переходы в СМО происходят в моменты окончания обслуживания, состояние СМО определяется числом заявок, связанных с системой в момент окончания обслуживания очередной заявки. Данный метод удобен, если важны такие показатели эффективности, как среднее число заявок, связанных с системой, средняя длина очереди и т.д.

При исследовании ВС большой интерес представляют такие величины, как среднее время пребывания заявки в системе, среднее время ожидания и т. д. При этом удобно рассматривать состояние системы в  моменты поступления заявок, а состоянием системы считать величину не завершенной к некоторому моменту времени t работы, понимая под этим время, необходимое системе для завершения обслуживания всех заявок. Незавершенная работа связана с временем, прошедшим с начала обслуживания заявки и с числом заявок в системе на некоторый момент времени t: число заявок уменьшенное на единицу характеризует объем незавершенной работы системы по обслуживанию заявок, находящихся в очереди. Разница между временем на обслуживание заявки и временем, прошедшим с момента начала обслуживания заявки находящейся в канале обслуживания - есть незавершенная работа системы по дообслуживанию заявки находящейся на обслуживании в канале. Промежутки времени , когда незавершенная работа не равна 0 называются периодами занятости; промежутки времени, соответствующие нулевым значениям незавершенной к моменту времени t работы – периодами простоя.

На рисунке 2.1 показано чередование периодов простоя с периодами занятости. Заявка С₁ поступает в систему в момент времени t₁ и приносит работу t_об1 , т.е. время, необходимое для обслуживания заявки. Заявка С₁ застает систему свободной, в этот момент времени незавершенная работа равна нулю, поэтому ее поступление начинает период занятости, следующий за предыдущим периодом простоя. В момент времени t₁ незавершенная работа совершает скачок на величину t_об1 , с этого же момента времени начинается обслуживание заявки С₁ и незавершенная работа убывает со скоростью 1 с/с. Через t_об1 секунд незавершенная работа станет равной нулю, так как обслуживание заявки окончится , а за время ее пребывания в в канале обслуживания в систему не поступает новых требований; начинается период простоя.

Рисунок 2.1 – Временная диаграмма функционирования СМО

Поступление заявки С₂ в момент времени t₂ открывает новый период занятости, локальный «сгусток» во входящем потоке заявок вызывает интенсивное накопление незавершенной работы. Система, работа которой описана на рисунке 1, является бесприоритетной в ожидании и обслуживании заявок. В моменты пересечения графика функции незавершенной работы с осью заявка считается обработанной. Для систем, в которых отсутствуют потери заявок за счет поступления новых заявок или ухода нетерпеливых заявок функция незавершенной работы не зависит от дисциплин обслуживания и ожидания.

Случайный процесс в системе, описываемой функцией незавершенной работы, есть процесс Маркова с непрерывными состояниями и непрерывным временем, содержащий разрывы. Далее рассмотрим его для конкретной системы.

Опишем порядок расчета разомкнутой одноканальной СМО без потерь. Входящий поток содержит заявки М типов, упорядоченных в порядке возрастания приоритета число типов заявок равно количеству каналов. Заявка любого типа образует простейший поток с интенсивностью l _i . приоритет заявки определяет целое положительное число от 1 до N, чем меньше число, тем выше приоритет. Длительность обслуживания заявок разного типа имеют произвольное распределение одного вида с параметрами, зависящими от типа заявок. Известны первый и второй начальные моменты распределения длительности обслуживания заявок i-го типа.

Рассматриваемая СМО без потерь, среднее число каналов  , занятых обслуживанием заявок i-го типа количественно совпадает с приведенной интенсивностью  потока заявок. Среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок произвольного типа  . Так как СМО одноканальная , ее загрузка y количественно совпадает со средним числом занятых каналов  и с суммарной приведенной интенсивностью входящего потока R :

Для того чтобы в системе существовал стационарный режим, очередь не росла неограниченно, необходимо выполнение неравенства R<1 . Нарушение данного неравенства приводит к неограниченному росту времени ожидания и соответственно времени пребывания заявки в системе.

Выражение , где - интенсивность суммарного входящего потока заявок , определяет вероятность того, что поступившая заявка относится к i-му типу.