Вітчизняний та зарубіжний досвід вивчення комбінаторики в основній школі

Комбінаторика  - один із традиційних розділів дискретної математики. Як розділ математики комбінаторика вивчає питання про те, скільки сполук, пов’язаних з тими або іншими умовами, можна утворити з даних об’єктів.

Історія розвитку комбінаторики свідчить про її постійно зростаюче наукове та практичне значення в житті людства. Із задачами, що отримали  потім назву  комбінаторні, люди були знайомі вже декілька тисячоліть тому. У стародавньому Китаї захоплювались складанням магічних квадратів, у яких задані числа розміщувалися так, що їх сума по всіх горизонталях, вертикалях та головних діагоналях була однаковою; у стародавній Греції підраховували число різних комбінацій довгих та коротких складів у віршованих  розмірах, вивчали фігури, які можна скласти з частин особливим чином розрізаного квадрату тощо.

У XVI столітті в житті привілейованих людей тодішнього суспільства велике місце посідали азартні ігри. У карти й кості вигравалося і програвалося золото і діаманти, палаци й маєтки, породисті коні і дорогі прикраси. Були поширені всілякі лотереї. Спочатку комбінаторні задачі стосувалися, в основному, азартних ігор, наприклад, питань, скількома способами можна викинути дане число очок, кидаючи дві чи три кості, скількома способами можна одержати двох королів у картковій грі. Ці та інші проблеми азартних ігор були рушійною силою в розвитку комбінаторики і теорії ймовірностей.

Теоретичні дослідження з питань комбінаторики почали в XVII столітті французькі вчені Б. Паскаль (1623-1662) і П. Ферма (1601-1665). Вихідним пунктом їхніх досліджень також були проблеми азартних ігор [40].

Термін "комбінаторика" був уведений у математику німецьким вченим Г. Лейбніцем. У 1666 році Лейбніц опублікував роботу "Міркування про комбінаторне мистецтво". Комбінаторику він розумів дуже широко, як складову будь-якого дослідження, будь-якого творчого акту, що припускає спочатку аналіз (розчленовування цілого на частини), а потім синтез (з’єднання частин у ціле). 

У 1713 році  опубліковано роботу Я. Бернуллі (1654-1720) "Мистецтво припущень", у якій досить повно були викладені відомі на той час комбінаторні факти. Робота складалася із 4-х частин; комбінаториці була присвячена друга частина, у якій містяться формули: для числа перестановок з n елементів, для числа сполучень (названого Я. Бернуллі класовим числом), без повторень і з повторенням, для числа розміщень з повтореннями і без повторень.

Наприкінці XVIII - початку XIX століть математики комбінаторної школи Гіндербурга спробували побудувати загальну комбінаторну теорію. Деякі комбінаторні проблеми набули при цьому настільки розвиненої форми, а  їх дослідження породили настільки великий обсяг інформації і дали суттєві результати, що стало можливим розглядати їх як самостійні математичні дисципліни.

У XX столітті завдяки роботам Дж.К. Рота (1964), а потім Р. Стенлі відбувається стрімкий процес алгебраїзації комбінаторики. Вивчення ними частково упорядкованих множин, властивостей функції Мебіуса, абстрактних властивостей лінійної залежності, виявлення їхньої ролі під час розв’язування комбінаторних задач сприяли збагаченню комбінаторних методів дослідження і подальшої інтеграції комбінаторики в сучасну математику.

Прослідкуємо за розвитком та частковою реалізацією ідеї введення комбінаторики до шкільної програми.

Ще наприкінці ХІХ – початку ХХ століть підручники для гімназій містили теми: “Теорія сполук. Біном Ньютона” [16; 66; 118].

Єдиних програм для шкіл після революції 1917 року не існувало, вчителі користувалися тимчасовими програмами, що видавались Наркомпросом.  Тему “Сполуки” було введено в програму для фізико-технічних груп другого ступеня єдиної трудової школи-комуни, випущеної в 1919 році.

1925-1926 роки характеризуються масовим введенням програм ГУСа, відповідно до яких вихідним пунктом у навчанні була трудова діяльність. Програма містила багато нового та цікавого, корисного для загального математичного розвитку учнів і підготовки їх до трудової діяльності.

Оскільки програми ГУСа (семирічна школа) не поширювалась на VIII і ІХ класи з педагогічним, кооперативним, адміністративно-радянським ухилом та на робітничі факультети і мали досить багато інших недоліків, то виникла необхідність уведення з 1927-28 н.р. обов’язкових навчальних планів і програм. Вони містили питання теорії сполук та біному Ньютона (у ІХ класі). Навчання математики  забезпечувалось підручниками і посібниками [54; 111].

У 1931 р. переглядаються шкільні програми. Основною метою було визначити коло знань і вмінь школярів і в цілому зорієнтувати їх на підготовку до вступу до вищого навчального закладу. Нова програма з математики для шкіл, за якою почали працювати з 1935 р., і яка проіснувала майже два десятиріччя, передбачала вивчення елементів комбінаторики та формули бінома Ньютона в курсі алгебри Х класу. Ці теми в курсі алгебри вивчалися за підручником А. Кисельова, що містив розділ “Сполуки”. У цьому підручнику не використовувалося поняття множини під час введення різних видів сполук,  матеріал було подано в доступній для учнів масової школи формі [96].

У 1940-1950 роках удосконалюються підручники і виходить багато статей з питань навчання математики в школі. Важливі думки про структуру і зміст шкільного курсу алгебри викладені в роботах А. Маркушевича. Ним було представлено нову програму з алгебри для старших класів, за якою в Х класі розглядалися питання комбінаторики із застосуванням до підрахунку ймовірностей.

Активне використання математичних методів у різних галузях науки і техніки, в автоматизації праці і процесів управління, в різних сферах практичної діяльності людини, розвиток сучасної математики поставило перед шкільною математичною освітою нові проблеми. Уже на початку 50-х років в усіх країнах назріла необхідність модернізації змісту курсу математики середньої школи, зближення його з ідеями і методами сучасної математики. Тому в 50-і роки активізує свою діяльність Міжнародна комісія з математичної освіти, яка провела ряд конференцій, сесій, семінарів, симпозіумів. Питання удосконалення шкільної математичної освіти обговорюється на міжнародних математичних конгресах.

На Міжнародному конгресі в Амстердамі в 1954 р. Міжнародна комісія з математичної освіти представила доповідь, у якій пропонувалося радикально перебудувати шкільний курс математики, поклавши в його основу поняття множини, перетворення і структури. На Міжнародному  конгресі математиків в Стокгольмі 1962 р. зазначалось, що більшість країн пропонують увести до шкільного курсу елементарну теорію множин, елементи математичної логіки, поняття сучасної алгебри, початкові відомості з теорії ймовірностей і математичної статистики. Формулюючи мету навчання математики в школі, американський математик-педагог угорського походження Д. Пойа, наприклад, підкреслює, що найголовніше – навчити молодь думати [158, с. 287].

Вся работа доступна по ссылке https://mydisser.com/ru/catalog/view/533967.html