---

Задачі як засіб формування комбінаторних знань та вмінь

У математичній енциклопедії під класичними комбінаторними задачами розуміють “задачі вибору та розміщення елементів скінченної множини, що мають в якості вихідного деяке формулювання розважального змісту типу головоломок” [128, с.971]. Там наведено приклад класичної комбінаторної задачі – побудова магічного квадрату, – в процесі розв’язування якої використовуються елементи комбінаторики.

Серед множини задач можна виділити  багато таких,  у процесі пошуку розв’язання яких використовуються елементи комбінаторики. Як математики, так і дидакти, обговорюючи проблему навчання учнів пошуку розв’язання задач, підкреслюють важливість аналізу і синтезу, підводять цю проблему до прогнозування [25]. Для них “прогнозування  пов’язане з набуванням досвіду розв’язування задач, інтуїцією, вмінням мислити творчо». Але чекати, коли в учня наступить «інсайт», нереально. Тому бажано навчити учня алгоритмізованим способам дій з організації пошуку розв’язання задач. У таких випадках учневі доводиться робити перебір можливих розумових дій, здійснення яких під час послідовного їх застосування приведе до кінцевого результату. Такими розумовими діями можуть бути і аналіз, і синтез, і порівняння, і абстрагування, і аналогія, і узагальнення тощо. Пошук розв’язання таких задач носить “комбінаторний характер”. Отже, з усього класу  практичних задач відокремлюється підклас задач, пошук розв’язання яких або спосіб розв’язування яких носить комбінаторний характер. Такі задачі викликають найбільшу складність у процесі пошуку розв’язання.

Специфічними  для комбінаторного аналізу є  задачі, що умовно можна віднести до чотирьох типів: а) задачі, в яких потрібно підрахувати кількість розв’язків; б) задачі, в яких вивчається питання про можливості або неможливості  комбінаторного розміщення; в) задачі, в яких з усіх можливих варіантів треба обрати той, що задовольняє заданій додатковій умові; г) задачі, в яких потрібно знайти всі її розв’язки.

Особливостями комбінаторних задач, що поєднують їх, є такі:

а) об’єкти, що розглядаються в комбінаторних задачах, складаються з окремих, дискретних елементів, які потрібно занумерувати;

б) у задачах, як правило, використовуються два типи операцій – відбір підмножин та впорядкування множин. Кількість цих операцій, послідовність виконання та повторення  визначаються умовами задач.

Незважаючи на невелику кількість первинних положень, комбінаторні задачі дуже різноманітні та часто викликають певні труднощі. Це обумовлюється: а) різноманітністю видів підмножин; б) різноманітністю видів  підмножин, які обираються; в) необхідністю враховувати своєрідність елементів множин, для яких поставлена комбінаторна задача.  Для кожної  з комбінаторних задач можна надати різноманітні інтерпретації, важливі у практичному відношенні.

У методичному плані системі вправ і задач з математики приділяли увагу Б. Ерднієв [216], Г. Бевз [10], Ю. Колягін [100] та інші. За основу дидактичної класифікації В. Онищуком взято ознаку навчальної мети, що передбачає послідовне зростання складності та послідовне посилення самостійності і творчості учнів. За цієї ознакою визначаються такі типи та види вправ (системи та підсистеми): 1) пропедевтичні вправи; 2) вступні; 3) пробні;  4) тренувальні: за зразком, за інструкцією; 6) творчі; 7) контрольні. Ця класифікація покладена в основу нашої системи.

За способом використання задач у навчальному процесі можна виділити такі їх класи:

1) вправи – одно-, двокрокові задачі, що використовуються для формування понять, введення, закріплення й застосування математичних фактів та способів діяльності;

2) задачі для організації математичної діяльності на шкільному рівні у повному її обсязі – від постановки цілей, через організацію пошуку розв’язання (аналіз умови, зіставлення умови й відомих фактів, створення плану розв’язування та його реалізація) до критичного осмислення результатів розв'язування;

3) контрольні завдання.

Функції задач у навчальному процесі були предметом дослідження психологів, педагогів та методистів [9; 80; 101; 145]. Ю.Колягін визначає чотири головні дидактичні функції задач, які відповідають цілям шкільної математичної освіти: навчальна, розвиваюча, виховна, контролююча [100]. Комбінаторні задачі теж виконують ці функції.

Розглянемо кожну з цих функцій.

1. Під навчальними функціями задач розуміють такі функції, які спрямовані на формування системи математичних знань, умінь та навичок в учнів на різних етапах їх засвоєння [100, с.103].

 Задачі, які пропонуються з метою підведення учнів до вивчення нової теми, актуалізації знань та вмінь, складання проблемних ситуацій тощо, виконують пізнавальні функції. За допомогою задач, які пропонуються учням перед поданням нового матеріалу, систематизують отримані знання та готують учнів до свідомого сприймання нових.

 Наприклад, перед тим, як доводити формулу для обчислення кількості розміщень з n елементів  по k,  учням корисно пропонувати наступну задачу.

Задача. Тридцять перших букв українського алфавіту зображені на тридцяти картках. Скільки різних чотирибуквених слів можна утворити?  (Словом будемо називати будь-яку послідовність чотирьох букв).

Розв’язуючи цю задачу, учні перекладають її на мову теорії множин, згадують, що таке впорядкована підмножина з 30 елементів по 4, правило множення, тобто актуалізують матеріал, необхідний для доведення формули. Але не тільки. У процесі виконання цієї конкретної задачі у свідомості більшості учнів виникає спосіб доведення формули. Після розв’язування цієї задачі доведення формули кількості розміщень з n елементів  по k не викличе труднощів. Учні самостійно або під керівництвом вчителя можуть довести її.

Задачі, які пропонуються учням для усвідомлення теоретичного матеріалу, для розгляду нового методу розв’язування задач тощо, виконують усвідомлюючі функції [9, с.29]. Ознайомлення з новим матеріалом – це лише перший етап засвоєння його учнями. Деякі з них у результаті пояснення запам’ятовують лише частину, не розуміючи основного. Інші розуміють формули, але не знають, як і де їх застосувати. У цей момент основна задача вчителя – правильно спрямувати засвоєння нового матеріалу. Конкретними задачами доповнити новий матеріал. Наприклад, після введення означень розміщень, перестановок та комбінацій можна запропонувати таку задачу:

Задача. З елементів {a, b, c} складіть:

а) усі можливі комбінації по 2 елементи;

б) усі можливі розміщення по 2 елементи;

в) усі можливі перестановки.

Більшість задач пропонується учням з метою вироблення навичок та вмінь. Такі задачі виконують тренувальні функції. Перші задачі для тренування повинні бути простими, щоб учні могли розв’язати їх за відомими правилами, алгоритмами. Наприклад, після введення поняття “факторіала” доцільно запропонувати учням навчальну самостійну роботу (див.стор.122).

2. Під розвиваючими функціями розуміють такі, що спрямовані на розвиток мислення учнів, на оволодіння прийомами ефективної розумової діяльності [100, с.107].

У процесі розв’язування комбінаторних задач є реальна можливість розвитку в учнів таких компонентів комбінаторного мислення, як гнучкість, варіативність, критичність, послідовність.

3. Говорячи про виховні функції задач, маємо на увазі виховання культури мовлення (усного та письмового), графічної культури, виховання позитивного ставлення учнів до навчальної діяльності, розвиток інтересу до навчання тощо. Пильної уваги заслуговує питання про виховання графічної культури.

Під графічною культурою розуміють уміння правильно, раціонально, акуратно виконувати та застосовувати графічне зображення інформації. Під час розв’язування комбінаторних задач використовуються таблиці, схеми, діаграми, графи. Всі вони є засобами структурованого відображення сутності математичних понять, фактів, способів діяльності та зв’язків між ними. Практика показує, що вільне володіння учнями такими засобами розширює можливості школярів у систематизації даних, зчитуванні та оперуванні інформацією, дозволяє витратити менше енергії, зробити цей процес  більш результативним [189, с.198].

 

 

Вся работа доступна по ссылке https://mydisser.com/ru/catalog/view/533967.html